الفرق بين العدد النسبي والكلي والصحيح بالأمثلة

ما هي الفروقات ما بين العدد النسبي والعدد الكلي والصحيح مع ذكر أمثلة

إن هناك فروقات ما بين العدد النسبي والعدد الكلي والعدد الصحيح، ولكن يجدر بنا التنويه بأن هذه الأعداد تتجلى في مجموع��ت بعضها محتواه في البعض الآخر، وإن الفرق يتجلى في:

• إن الأعداد الصحيحة هي التي لا يمكن أن تكون كسراً أو فواصل عشرية، وكذلك الأعداد الكلية فهي تكون موجبة ولا تقبل أن تكون كسراً ولا عدداً سالباً، بينما العدد النسبي من الممكن أن يكون كسراً.
• إن الأعداد الصحيحة تضم الأعداد الصحيحة السالبة والأعداد الكلية، أما الأعداد الكلية فهي جزء من الأعداد الصحيحة.
• إن الأعداد النسبية هي التي تضم الكسور الاعتيادية والعشرية بالإضافة إلى أنها تضم الأعداد الصحيحة، أي من الممكن أن يكون العدد النسبي كسراً أو عدد صحيح.
• نجد أن الأعداد النسبية هي مجموعة أكبر من مجموعة الأعداد الصحيحة والأعداد الكلية، أما الأعداد الصحيحة هي مجموعة أكبر من الأعداد الكلية.
• ويجدر بنا التنويه أن كل عدد صحيح هو عدد نسبي، حيث أن هناك أعداد نسبية نستطيع أن نكتبها على صورة العدد الصحيح، ولهذا من الممكن القول أن كل عدد صحيح هو عدد نسبي ولكن في المقابل ليس كل عدد نسبي يكون عدداً صحيحاً.
• إن الأعداد الطبيعية هي مجموعة جزئية من الأعداد الصحيحة والتي تعتبر مجموعة جزئية من الأعداد النسبية.[2]

أمثلة عن العدد النسبي والكلي والصحيح

بعد معرفة الفروقات ما بين العدد النسبي والعدد الكلي والعدد الصحيح، فهنا سنذكر بعض الأمثلة عليها وسنطرح هذه الأمثلة على شكل أسئلة تعزيزية من الممكن أن يستخدمها المعلم في حصته الدراسية، وإن الأمثلة سنوردها في جدول وسيتم تصنيف كل مثال في هذا الجدول وهي كالتالي:

في أي قائمة أو في أي قوائم سنكتب العدد-4 ولماذا؟

• سيكتب الرقم -4 في خانة الأعداد الصحيحة، وفي خانة الأعداد النسبية، ويكمن السبب في أنه هو عدد صحيح وإن كل عدد صحيح هو عدد نسبي.

في أي قائمة أو في أي قوائم سنكتب الكسر   ولماذا؟

• نجد أن هذا العدد ليس عدداً كلياً ولا عدداً صحيحاً، ولكنه عدد نسبي والسبب في ذلك لأنه تمت كتابته كنسبة عددين صحيحين.

في أي قائمة أو في أي من القوائم سنكتب -0.3، ولماذا؟

• إن هذا الرقم السالب سيكتب في خانة الأعداد النسبية والسبب بأن كل عدد كسري عشري أو عدد دوري يعتبر عدد نسبي.

في أي قائمة أو في أي من القوائم سيتم كتابة 64√، ولماذا؟

• إن 64√ يكافئ العدد ثمانية وهو يعتبر عدد كلي وعدد صحيح وعدد نسبي.

الأعداد الكلية	الأعداد الصحيحة	الأعداد النسبية
	-4	-4
		-0.3
64√	64√	64√

أمثلة أخرى عن الأعداد النسبية والصحيحة والأعداد الكلية:

1. مثال عن الأعداد الكلية: 0،1،2،3،4،5……، وتتجلى الأعداد الكلية بالصفر والأعداد الموجبة.
2. مثال عن الأعداد الصحيحة مثل: -1،-4،-6،6….، وتتجلى الأعداد الصحيحة بالصفر والأعداد الموجبة والسالبة.
3. مثال عن الأعداد النسبية: وهي الصفر والأعداد الموجبة والسالبة بالإضافة إلى الكسور.
4. العدد خمسة هو عدد صحيح ويمكننا أن نكتبه على صورة كسر بسطه عدد صحيح ويساوي خمسة ومقامه عدد صحيح ويساوي الواحد.

ما هو العدد غير النسبي

إن العدد الذي لا يمكن أن يُكتب على صورة كسر اعتيادي فهو عدد ليس نسبياً، وتسمى بالأعداد الغير نسبية، حيث أننا عندما نعطي الآلة الحاسبة قيمة 7√ فهي تساوي الكسر العشري 2.645713، وإن هذا الكسر العشري يستمر دون تكرار، فهو عدد غير منته لا يتكرر لهذا لا يمكن كتابته بصورة كسر عادي، فالتعبير اللفظي للعدد الغير النسبي هو العدد الذي لا يمكن كتابته على صورة كسر حيث أن a وb هما عددان صحيحان، وb لا يساوي الصفر، ومن الأمثلة:

• 2√=1.414213562
• -3√=-1.733050807

الأعداد النسبية

إن الأعداد النسبية تعتبر واحدة من مجموعة الأعداد الصحيحة، حيث أن العدد النسبي تتم كتابته بصيغة 6/1، وإن هذا الكسر يعتبر عدد نسبي وعدد صحيح لأن الناتج يكون عدد صحيح، ولكن عندما يكون ناتج الكسر كسراً أي ليس عدداً صحيحاً فهو لا يكون عدد صحيح، فقط ينتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية، وعندما نقوم بضرب الرقم ثلاثة إلى الكسر 6/1 تصبح النتيجة 18/3، وإن ناتج هذا الكسر هو الرقم 6 وهو عدد صحيح، وهناك بعض القواعد للأعداد النسبية وتتجلى في:

• إن هناك أعداد نسبية ممكن أن تكتب على صورة العدد الصحيح.
• هناك أعداد نسبية لا يمكن كتابتها على صورة عدد صحيح.
• إن كل عدد صحيح هو عدد نسبي، ولكن لا يمكن قول العكس، فالعكس غير صحيح، أي ليس كل عدد نسبي هو عدد صحيح.
• إن العدد النسبي يكون موجباً عندما يكون للعددين aوb الإشارة ذاتها.
• إن العدد النسبي يكون سالباً عندما عندما يكون للعددين aوb إشارة مختلفة.
• إن العدد النسبي يكون صفراً عندما يكون a مساوي الصفر.
• من الممكن أن يُكتب العدد النسبي في أبسط صورة له.

جذر 2 عدد غير نسبي

إن مقولة جذر 2 هو عدد غير نسبي تعتبر من أحد النظريات الشائعة التي احتلت المرتبة السابعة والتي تم برهانها عن طريق الرياضي العالم إقليدس، والذي عاش في عهد الدولة البطلمية في الاسكندرية، وهنا نجد أن فيثاغورث قد اعتقد أن الكون يتألف من أعداد نسبية لها معنى عميق، وأن جميع القوانين الكونية تعتمد على الأعداد النسبية حيث أنها تقوم على نسبة تربط طول القطر لأي مربع مع طول ضلعه، ولكن وجد أن النظرية الفيثاغورثية كانت على خطأ حيث أن النسبة ما بين طول قطر المربع وطول ضلعه هي عدد غير نسبي، أو كما كان الفيثاغورثيون يسمونه عدد أبله، وفي هذه الحالة أدرك الفيثاغورثيون أنهم في مشكلة يجب أن يجدوا حلاً لها.

ونجد أن العلاقة ما بين طول قطر المربع وطول ضلعه هي عدد غير نسبي، حيث أن التعبير الرياضي يبين أن العدد الغير النسبي a لا نستطيع أن نعبر عنه في صورة p/q حيث p , q هما عددان صحيحان أو من الممكن القول أنهما عددان طبيعيان، وإن الإغريقيين لم يعرفوا أبداً الأعداد السالبة، وهنا جاء إقليدس الذي برهن أن جذر الرقم اثنان هو عدد غير نسبي، حيث أن اعتماداً على نظرية فيثاغورث التي تنص على أن وتر المثلث القائم يساوي طولا ضلعي القاعدة 1 متر هو عدد غير نسبي ويكون مساوياً جذر 2، وقد برهن إقليدس ذلك عن طريق:

• اعتبر أن العدد 2 سيتم التعبير عنه في صورة رقم نسبي وتكون هذه الصورة مختصرة  p/q حيث p و q رقمان طبييعان  ليس بينهما قاسم مشترك على عكس العدد 1.
• وهنا نجد أن q وpهما عددان ولكنهما ليسا زوجيان، لأن الأعداد الزوجية نستطيع أن نختصرها ونختزلها، وهذا الأمر يتنافى مع الفرض الذي وضعه إقليدس.
• بتربيع العدد نحصل على [latex] p^2/q^2 = 2[/latex].
• وهنا نجد الخلاصة أن  q^2 هو عدد زوجي وهذا يدل أن q أيضاً عدد زوجي وهذا الأمر هو مخالف للفرض الذي وضعه إقليدس على أن العددان ليس لهما قاسم مشترك بخلاف الواحد، ومن هذه الفكرة استخلص إقليدس أن جذر العدد 2 هو عدد غير نسبي.

فضلا لا أمرا إدعمنا بمتابعة ✨🤩

👇 👇 👇

https://t.me/eduschool40

الفرق بين العدد النسبي والكلي والصحيح بالأمثلة – مدونة المناهج السعودية