فهم المعادلات المكافئة في الجبر

hanan2021-07-31

220 4 دقائق

فهم المعادلات المكافئة في الجبر

المعادلات المتكافئة هي أنظمة معادلات لها نفس الحلول. يعد تحديد المعادلات المتكافئة وحلها مهارة قيمة ، ليس فقط في فصل الجبر ولكن أيضًا في الحياة اليومية. ألق نظرة على أمثلة المعادلات المتكافئة ، وكيفية حلها لمتغير واحد أو أكثر ، وكيف يمكنك استخدام هذه المهارة خارج الفصل الدراسي.

الماخذ الرئيسية

المعادلات المتكافئة هي معادلات جبرية لها حلول أو جذور متطابقة.
ينتج عن إضافة أو طرح نفس الرقم أو التعبير إلى كلا طرفي المعادلة معادلة مكافئة.
ينتج عن ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم غير الصفري معادلة مكافئة.

المعادلات الخطية بمتغير واحد

أبسط الأمثلة على المعادلات المتكافئة لا تحتوي على أي متغيرات. على سبيل المثال ، هذه المعادلات الثلاث معادلة لبعضها البعض:

3 + 2 = 5
4 + 1 = 5
5 + 0 = 5

يعتبر التعرف على هذه المعادلات متكافئة أمرًا رائعًا ، ولكنه ليس مفيدًا بشكل خاص. عادةً ما تطلب منك مشكلة معادلة مكافئة حل المتغير لمعرفة ما إذا كان هو نفسه (نفس الجذر ) مثل المتغير في معادلة أخرى.

على سبيل المثال ، المعادلات التالية متكافئة:

س = 5
-2 س = -10

في كلتا الحالتين ، x = 5. كيف نعرف ذلك؟ كيف تحل هذا من أجل معادلة “-2x = -10″؟ الخطوة الأولى هي معرفة قواعد المعادلات المتكافئة:

ينتج عن إضافة أو طرح نفس الرقم أو التعبير إلى كلا طرفي المعادلة معادلة مكافئة.
ينتج عن ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم غير الصفري معادلة مكافئة.
سيؤدي رفع كلا طرفي المعادلة إلى نفس القوة الفردية أو أخذ نفس الجذر الفردي إلى إنتاج معادلة مكافئة.
إذا كان كلا طرفي المعادلة غير سالبين ، فإن رفع كلا طرفي المعادلة إلى نفس القوة الزوجية أو أخذ نفس الجذر الزوجي سيعطي معادلة مكافئة.

مثال

بوضع هذه القواعد موضع التنفيذ ، حدد ما إذا كانت هاتان المعادلتان متساويتان:

س + 2 = 7
2 س + 1 = 11

لحل هذه المشكلة ، عليك إيجاد “x” لكل معادلة . إذا كانت “x” هي نفسها لكلتا المعادلتين ، فإنهما متكافئتان. إذا كانت “x” مختلفة (أي أن المعادلات لها جذور مختلفة) ، فإن المعادلات ليست مكافئة. للمعادلة الأولى:

س + 2 = 7
x + 2 – 2 = 7-2 (طرح كلا الطرفين بنفس العدد)
س = 5

للمعادلة الثانية:

2 س + 1 = 11
2x + 1 – 1 = 11-1 (طرح كلا الطرفين بنفس العدد)
2 س = 10
2 س / 2 = 10/2 (قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم)
س = 5

لذا ، نعم ، المعادلتان متساويتان لأن x = 5 في كل حالة.

المعادلات المعادلة العملية

يمكنك استخدام معادلات مكافئة في الحياة اليومية. إنه مفيد بشكل خاص عند التسوق. على سبيل المثال ، أنت تحب قميصًا معينًا. تقدم إحدى الشركات القميص مقابل 6 دولارات ولديها شحن بقيمة 12 دولارًا ، بينما تقدم شركة أخرى القميص مقابل 7.50 دولارات وشحن 9 دولارات. أي قميص لديه أفضل سعر؟ كم عدد القمصان (ربما ترغب في الحصول عليها للأصدقاء) التي يجب عليك شراؤها حتى يكون السعر هو نفسه لكلتا الشركتين؟

لحل هذه المشكلة ، دع “x” هو عدد القمصان. لتبدأ ، قم بتعيين x = 1 لشراء قميص واحد. للشركة رقم 1:

السعر = 6 س + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 دولارًا

للشركة رقم 2:

السعر = 7.5x + 9 = (1) (7.5) + 9 = 7.5 + 9 = 16.50 دولارًا

لذلك ، إذا كنت تشتري قميصًا واحدًا ، فإن الشركة الثانية تقدم عرضًا أفضل.

لإيجاد النقطة التي تكون فيها الأسعار متساوية ، دع “x” تبقى عدد القمصان ، لكن ضع المعادلتين متساويتين. قم بحل قيمة “x” للعثور على عدد القمصان التي يجب عليك شراؤها:

6 س + 12 = 7.5 س + 9
6x – 7.5x = 9-12 ( طرح نفس الأرقام أو التعبيرات من كل جانب)
-1.5x = -3
1.5x = 3 (قسمة كلا الجانبين على نفس العدد ، -1)
س = 3 / 1.5 (قسمة كلا الجانبين على 1.5)
س = 2

إذا اشتريت قميصين ، فسيكون السعر هو نفسه ، بغض النظر عن المكان الذي تحصل عليه فيه. يمكنك استخدام نفس الرياضيات لتحديد الشركة التي تمنحك صفقة أفضل مع الطلبات الكبيرة وأيضًا لحساب المبلغ الذي ستوفره باستخدام شركة على الأخرى. انظر ، الجبر مفيد!

معادلات مكافئة ذات متغيرين

إذا كان لديك معادلتان ومجهولان (س وص) ، يمكنك تحديد ما إذا كانت مجموعتان من المعادلات الخطية متكافئة.

على سبيل المثال ، إذا أعطيت المعادلات:

-3 س + 12 ص = 15
7 س – 10 ص = -2

يمكنك تحديد ما إذا كان النظام التالي مكافئًا:

-x + 4y = 5
7 س -10 ص = -2

إلى حل هذ المشكلة ، والعثور على “س” و “ص” لكل نظام من المعادلات. إذا كانت القيم هي نفسها ، فإن أنظمة المعادلات تكون متكافئة.

ابدأ بالمجموعة الأولى. لحل معادلتين بهما متغيرين ، اعزل متغيرًا واحدًا وعوض عن حله في المعادلة الأخرى. لعزل المتغير “y”:

-3 س + 12 ص = 15
-3 س = 15-12 ص
س = – (15-12 ص) / 3 = -5 + 4 ص (عوض عن “س” في المعادلة الثانية)
7 س – 10 ص = -2
7 (-5 + 4 ص) – 10 ص = -2
-35 + 28 ص – 10 ص = -2
18 ص = 33
ص = 33/18 = 11/6

الآن ، عوض بـ “y” مرة أخرى في أي من المعادلتين لحل قيمة “x”:

7 س – 10 ص = -2
7 س = -2 + 10 (11/6)

من خلال العمل على هذا ، ستحصل في النهاية على x = 7/3.

للإجابة على السؤال، هل يمكن تطبيق نفس المبادئ على المجموعة الثانية من المعادلات إلى حل ل “س” و “ص” لتجد أن نعم، هم في الواقع ما يعادلها. من السهل أن تتورط في الجبر ، لذا من الجيد التحقق من عملك باستخدام أداة حل المعادلات عبر الإنترنت .

ومع ذلك ، سيلاحظ الطالب الذكي أن مجموعتي المعادلات متكافئة دون إجراء أي حسابات صعبة على الإطلاق. الفرق الوحيد بين المعادلة الأولى في كل مجموعة هو أن المعادلة الأولى هي ثلاثة أضعاف الثانية (مكافئة). المعادلة الثانية هي نفسها تمامًا.