ما هي الأعداد الأولية وكيفية تحديد العدد الأولي

hanan2023-01-03

1٬363 3 دقائق

ما هي الأعداد الأولية وكيفية تحديد العدد الأولي .. الأعدَاد الأوليّة هي أعدَاد صحيحة أكبر من العدَد واحد، أي أنّها أعدَاد موجبة، لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى العدد واحد دونَ أنْ يوجد هنالك أي باقي، حيث أن لها زوج من العواملِ فقط، وهما العدد نفسه والواحد صحيح، ومن الأمثلة عليها، 2،3،5،7،11،…، أما الأعدادِ غيّر الأوليّةْ أو الأعدادَ المُركبّة هي الأعدادَ التي تقبل القسمة على أعدادِ أخرى بإضافة إلى قسمتها على نفسها وعلى العدْد 1 دون أن يكون هنالك أي باقي، أي أن لها أكثر على عاملين، ومن الأمثلة عليها 4،6،8،10،…

خصائص الأعداد الأولية

تتميز الأعدَاد الأَوليّة عن غيرها من الأعدَاد بمجموعة من الخصائص

جميع الأعدَاد الأَوليّة أعدادًا فردية، عدا العَدد الأَولِي 2 هو العدد الزوجي الوحيد في قائمة الأَعداد الأَوليّة، حيث أن الأعدَاد الزوجية جميعها تقبل القسمة على 2، أي أن لها أكثر من عاملين.
العدَد الأَولِي هو العدد الذي لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد واحد.
جميعُ الأعدادُ الأَوليّة التي تكون أكبر من العدد 3 يمكن التعبير عنها كناتج مجموع عَددين أَوليِين.
لا يوجد عدَد أَولِي أكبر من العدد 5 ينتهي بالعدد 5، وذلك لأن أي عدد ينتهي بالعَدد 5 يقبل القسمة على 5، وبالتالي لا يعد عَددًا أوليًا.
إذا كان مجموع الأرقام المكوّنة لعدد ما من مضاعفات العدد 3 فلا يمكن لهذا العَدد أن يكون أوليًا.
جميعُ الأعدَاد الصحيحة غير 0،1 هِيّ إما أعداد مركبة، أو أعدَاد أَوليّة.

طريقة تحديد الأعداد الأولية

يمكن تحديد الأعدَاد الأوليّة من خلال عدة طرق مختلفة، ومنّها:

طريقة التحليل إلى عوامل

طريقة التحليل إلى عوامل العَدد من أسرع الطرق لمعرفة إذا العَدد أوليًا أم لا، وعوامل العَدد يعني الأعدَاد التي تضرب ببعضها البعض للحصول على العدد الأصلي، فعلى سبيل المثال عوامل العدد 15 هي 3،5 وذلك لأن حاصل ضرب العَدَدين 3،5 يساوي العَدد الأصلي 15، بالإضافةِ إلى ذلك يعد كلاً من العددين 1،15 من عوامل العدَد 15، وذلك لأن حاصل ضرب هذه الأعدادْ يساوي 15، أي أن العدد 15 لم يطبق شروط العدد الأولي وذلك لأن له زوجين من العوامل، كما أنه يقبل القسمة أيضًا على عددينْ آخرين غير العدد 1،15، وفي طريقة أكثر سهولة، فإنه يمكن تحليل العدد إلى عوامله بطريقة الشجرة، عن طريق تحليل عوامل العدد، ثم تحليل كل عددْ على حدا.

تمييز العدد المركب عن العدد الأولي

ويُمكنُ تمييزَ العَدد المُركب عن العدد الأوليّ من خلالِ النقاطِ الآتيّة:

العدد المركب: هو العدد الذي يكون له أكثر من عاملين، كما أنه يقبل القسمة على عدد أولي مقداره أقل أو مساوي للجذر دون وجود أي باقي، فإذا كان العدد (أ) عددًا مركبًا، وبالتالي فإنّه يقبل القسمة على أحد الأعدَاد الأوليّة التي تقل عن أو تساوي أ√ دون وجود أي باقي.
العدد الأولي: في حال لم يقبل العدد المركب القسمة دون باقي على أحد الأعدَاد الأوليّة التي تقل عن أو تساوي أ√، فهذا يعني أنّ العدد أولي، فمثلاً العددْ 23 لا يمكنه القسمة على أي عددْ أولي يقل عن أو يساوي 23√ دون باقي، وهذا يثبت أنه أوليْ.

أهمية الأعداد الأولية

من المهم دراسة الأعدادْ الأوليَة وتحديد مدى أهميتها، حيث أنها تستخدم في الكثيرِ من المجالات، مثل استخدامها في مجال تشفير البيانات، وذلك عن طريق ضرب عددينْ أوليينَ للحصول على عددِ جديد أي عددَ مركب والذي يسمى المفتاح العام، واستخدامها في النظرية الرياضية للموسيقى بشكل كبير، وفي الإلكترونيات، والحواسيب، ومعالجة المعلومات أيضًا، بالإضافة إلى ذلك يوجد للأعدادِ الأَوليَة تطبيقات على العديد من العمليات المشتركة في معالجة الإشارات، وتطبيقات على ميكانيكا الكم والفيزياء، وغيّرها من المجالات المهمة أيضًا.

أمثلة حول الأعداد الأولية

وفيّما يأتي مجموعة من الأمثلةِ حولَ الأعدادِ الأوليّة:

المثال الأول: هل الأعدادْ الآتية أعدادًا أولية (2، 4، 7، 10) ؟
- الإجابة: العدَد 2 عدَد أوّلِي، حيث إنه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدَد 1
- العددَ 4 عدد مركب، وذلك لأن له أكثر من عاملين، وهما 4،1،2
- العددَ 7 عددَ أَولِي، حيث إنه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العددِ 1
- العددَ 10 عدد مركب، وذلك لأن له أكثر من عاملين، وهم 10،1،5،2
المثال الثاني: لماذا الأعدَاد الآتية هي أعدَاد أَوليّة (11، 17، 23، 29)؟
- الإجابة: لأنّ جميعها لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى العَددِ واحد.
المثال الثالث: ما هي الأعدَاد الأَوليّة المحصورة بين العددين 20-25؟
- الإجابة: 22،23 فقط، حيث أن الأَعدادَ 20،21،24،25 أَعدَاد مركبة لها أكثر من عاملين.

هل العدد 1 عدد أولي

العددُ الأَوليَ هو عَدَد صحيح موجب، لا يقبل القسمة إلا على نفسه أو على الواحد صحيح، ومن الأمثلة عليها: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، وهي بذلك الأعداد التي تمتلك عاملين فقط، هما: العددٌ نفسه، والعدد واحد، وفي الإجابة عن سؤال العددَ 1 هو عَدد أَولِي أو غير ذلك، فإنه لا يمكن القول أنه أولِي أو غير أولِيْ، لأن ليس لديه إلا عامل قسمة واحد وهو نفسه.

الفرق بين الأعداد الأولية والأعداد المركبة

يمكن معرفة الفرق بين الأعدَاد الأَوليّة والأعدَاد المركبة بكل سهولة، حيث أن للأعدادِ المركبة أكثر من عامليّن، أي أنها تقبل القسمة على أعدَاد صحيحة أخرى بالإضافة إلى قابلية قسمتها على نفسها وعلى العدد واحد دون أن يكون هنالك باقي، أما الأعدادِ الأَوليّة هي الأعدَاد التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى العَدد 1 دون أن يكون هنالك باقٍ، بمعنى آخر هي الأعدَاد التي لها فقط عاملين